Aplicaciones de las matrices a la sociología

En Sociología se utilizan grafos dirigidos para estudiar el grado de relación que existe entre los miembros {v1 , … , vn} de un colectivo, correspondiéndose a los vértices del grafo que representa dicha relación. De esta forma, la buena relación de vértice vi hacia el vértice vj, se plasma en el número de flechas que parten de vi hasta vj.

Un camino entre dos vértices vi, vj, es de longitud uno, si no pasa por ningún vértice intermedio, por lo que será de longitud dos, si existe otro vértice vk tal que exista un camino de longitud uno de vi a vk y otro de vk a vj.

A cada grafo dirigido de n vértices se le puede asociar una matriz A Mn(n) conocida como matriz de Adyaciencia o Sociomatriz, donde el elemento (i,j), de la matriz A indica el número de caminos de longitud uno del vértice vi al vj. De tal forma que, la matriz An proporciona el número de caminos de longitud n que existen entre ambos vértices.

Por ejemplo, consideremos un grupo de cuatro personas {v1, v2, v3, v4} , las cuales se relacionan entre sí, de forma que cada una de ellas puede recibir información del resto de forma directa o indirecta. El esquema de comunicación entre este conjunto de personas se representa mediante el siguiente grafo dirigido:

Aplicaciones de las matrices a la Sociología

De esta forma, la matriz de Adyacencia A asociada al grafo es:

matriz de Adyacencia A asociada

Observamos que las primeras potencias de esta matriz de Adyacencia cumplen que:

Así pues, existen tantos caminos de longitud impar como caminos de longitud uno, es decir, podemos construir comunicaciones entre las personas de longitud 3, 5, 7, 9, 11, 13… como caminos que encontremos en el grafo de longitud 1. Por ejemplo, en nuestro grafo vemos claramente que existe un camino de longitud uno entre v1 y v2, pero como nos muestra la matriz A5, existe un camino de longitud 5 entre ambos vértices:  {v1, v2, v3, v2, v4, v2}.

Razonando de forma análoga, encontramos tantos caminos de longitud par como caminos de longitud dos que podamos realizar en nuestro grafo.

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