El concepto más básico de número se remonta a los inicios de la raza humana, nacido de la necesidad de contar elementos de un conjunto finito. Vemos, de manera detallada, los inicios de los números.
La evolución de este concepto fue un desarrollo largo y lento, cuyo origen fue la creación del conjunto de los números naturales, debido a que estos números son los que aparecen por primera vez en el proceso natural de contar.
Inicialmente, realizaban este recuento utilizando los dedos de las manos, dando lugar al sistema quinario o decimal. Sin embargo, debido a la necesidad de contar cantidades mayores de objetos se utilizaron montones de piedras, lo cuál no era práctico, por lo que posteriormente realizaban muescas en palos o trozos de huesos. De aquí, que la aparición de los signos para representar números precediera al lenguaje oral.
También hay que tener en cuenta la doble vertiente del número natural, por un lado el cardinal, que exige un emparejamiento entre grupos de cosas; y por otro lado, el ordinal, donde a la vez se exige el concepto de orden.
Destacar, que la formación del conjunto de los números naturales, como lo conocemos en la actualidad, puede realizarse de una manera axiomática, camino seguido por Peano y Hilbert. O bien, por construcción, basada en la teoría de conjuntos dada por Cantor y Frege, que tuvo que ser perfeccionada más tarde por Russell.
Construcción axiomática del conjunto de los números Naturales
Los axiomas o postulados de Peano son un conjunto de axiomas ideados por el matemático Giuseppe Peano en el S. XIX para definir los números naturales.
Los axiomas de Peano son los siguientes:
1. El número uno pertenece al conjunto de los números naturales.
2. Si un elemento pertenece al conjunto de los números naturales, entonces su sucesor también pertenece.
3. El número uno no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, implica que estos números son el mismo.
5. Se verifica el axioma de inducción:
Para todo subconjunto del conjunto de los números naturales tal que el número uno pertenezca a dicho subconjunto, y para todo número que pertenezca su sucesor también; entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Aún hoy en día existe el debate sobre si considerar al número cero como un número natural o no. Generalmente se decide en cada caso según las necesidades, en cuyo caso deben hacerse algunos ajustes menores en los postulando de Peano, quedando de la siguiente manera:
1. El número cero pertenece al conjunto de los números naturales.
2. Si un elemento pertenece al conjunto de los números naturales, entonces su sucesor también pertenece.
3. El número cero no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, implica que estos números son el mismo.
5. Se verifica el axioma de inducción:
Para todo subconjunto del conjunto de los números naturales tal que el número cero pertenezca a dicho subconjunto, y para todo número que pertenezca su sucesor también; entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
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