Los inicios del concepto de razón

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Para adentrarnos en los inicios del concepto de razón, empezaremos hablando sobre el tratado de Euclides. En él, son dos las teorías que destacan en su obra para la Proporcionalidad, una que abarcaría las magnitudes, y otra trataría los números. Esto se debe a la particular visión que los griegos tenían sobre las magnitudes, pues el producto de dos de estas no era considerado. En la obra de Oller y Gairín (2013), ejemplifica esto diciendo que los griegos no considerarían como superficie el producto de dos magnitudes. Las dos teorías intentarían converger en el libro X del propio Euclides, en el que se dice que dos magnitudes son medibles solo si guardan entre sí la misma proporción que un número con otro número. Aunque esto encuentra como obstáculo cognitivo la asunción de que los números son magnitudes, cosa que causa controversia. Otra problemática reflejada es que las razones son siempre entre tiempos o entre distancias, nunca se relacionan entre sí.

Otro de los recorridos a través de los conocimientos de la Proporcionalidad a lo largo de la Historia del trabajo de Oller y Gairín (2013), lo encontramos en el continente asiático, más concretamente en los pensadores chinos. Para los matemáticos chinos, el enfoque práctico de su disciplina queda de manifiesto en sus textos y tratados, que solían ser una recopilación de problemas con sus posibles soluciones, configurándose así de forma antagónica al modelo griego. Ejemplo de esto es el texto de los Nueve Capítulos, al que el matemático chino, Liu Hui, añadiría anotaciones posteriormente. Esta obra aúna la preocupación práctica característica de los matemáticos chinos de la época, junto a una base teórica. Existen aquí algunos referentes a la Proporcionalidad, bajo el concepto “lü”, definido por Liu Hui como una agrupación de valores de las magnitudes directamente proporcionales de las que se dispone. Este concepto resulta imprescindible para el inicio de la Regla de Tres. A diferencia del paradigma griego de la Proporcionalidad y de las magnitudes, aquí no existe ningún obstáculo epistemológico que relacione distintas magnitudes, por lo que las aplicaciones prácticas se dan, concretamente en el ámbito mercantil .Además, encontramos otra diferencia con los matemáticos griegos, y es que estos tienen una idea de razón interna, mientras que los chinos la tienen externa.

Con el paso del tiempo, fue el enfoque griego el que perduró, arropado en la cultura árabe durante la Edad Media, y extendiéndose con esta. Sin embargo, existían dos grandes problemas en la concepción griega: El primero de ellos, es la falta de una definición rigurosa del concepto de razón, así como el carácter, numérico de este, siempre puesto en duda. El segundo, que la composición de dos razones cualesquiera falla en el caso de las magnitudes, como se puede ver en la Proposición 23 del Libro VI, en el que Euclides habla de la razón compuesta sin presentar el concepto de antemano.

Mientras que, para el primero de estos problemas, la problemática encontrada es de esencia teórica, en lo que respecta la segunda, cuando los árabes evolucionaron algunas técnicas de resolución de problemas del mundo oriental, estas no podían ser acreditadas exclusivamente por la visión griega de la Proporcionalidad.

Fue a finales de la Edad Media, cuando la obra Elementos de Euclides, fue más copiada y traducida, haciendo que la teoría griega fuese más popular y pudiese encontrar algunas respuestas a sus problemáticas. Al primer problema teórico, se encontró solución tanto en el mundo cristiano como en el musulmán, mientras que la resolución del segundo, solo se dio en la cultura árabe.

En la cultura árabe, tenemos a Omar al-Khayyam, responsable de comentar los conocimientos de Euclides plasmados en Elementos, exponiendo y resolviendo, aunque no en su totalidad, los dos obstáculos que presentaba la proporcionalidad griega, al menos en el ámbito de las magnitudes geométricas. Mientras que, en el ámbito numérico escrito en Elementos, una cantidad se limita a poder dividirse entre los enteros positivos que no permiten más subdivisión que la unidad, Omar al-Khayyam divide una cantidad hasta el infinito.

proporción aurea espiral
Espiral de proporción aurea

En el tercer libro de su obra, al-Khayyam implementa un método para la composición de razones de tres magnitudes. Esto es, si a y b son magnitudes, determina una unidad u y, entonces por la existencia de la cuarta proporcional, existe otra magnitud g, la que considera un número que representa a la razón a: b; de esta manera realiza una identificación de las razones con números, obteniendo así la composición de las razones con la multiplicación numérica. Así pues, si a, b y c son magnitudes, relacionadas por las razones a: b y b: c, obtendremos, por la composición de las razones, la razón a: c. Este método, se puede extender para una cantidad cualquiera de magnitudes. La perspectiva de al-Kayyam es de gran estima, ya que es pionera en el ámbito de la proporción. Pese a esto, el autor nunca abordó la problemática sobre si la Proporcionalidad es de índole numérica o no.

En el mundo cristiano, concretamente en el siglo XIII, Giovanni Campano extendió con su traducción del trabajo de Euclides, la obra del autor griego. Campano no solo tradujo, sino que aportó elementos propios, como la denominación de una razón, definiendo así el concepto de razón:

Se dice denominación de una razón, específicamente de un número más pequeño en relación a uno más grande, a la parte o las partes de ese [número] menor que están en el mayor. Y [de una razón] de un número más grande en relación a otro más pequeño, al múltiplo o al múltiplo y la parte o las partes según las cuales el mayor lo es. (p. 332)

Citado por Rommevaux, 1999, citado por Oller y Gairín, 2013

El objetivo de Campano es aritmetizar el concepto de razón, pues asigna un número a cada razón. No obstante, la visión del autor italiano, hereda de Euclides el concepto de semejanza de dos razones, y no de igualdad. Pese a esto, la práctica que conlleva la teoría de Campano es semejante a la actual, asociando la razón con un número racional, y los conceptos numéricos con la igualdad entre razones. No obstante, en el trabajo de Campano, la razón no es un número pese a ser nombrada por uno, tal y como ocurre en la actualidad.

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Un mismo problema, múltiples soluciones

Una vez contextualizado, en otros artículos, el concepto de razón a lo largo de la Historia, los autores Oller y Gairín (2013), mencionan que, en

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