Debido a la dificultad de iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el ámbito de la Proporción, resulta interesante realizar una retrospección sobre como el concepto y su uso ha ido evolucionando a lo largo de la Historia. Por esto, en este artículo quiero hablaros de la retrospección sobre el concepto de la proporcionalidad.
Como podemos ver en el trabajo de Oller y Gairín (2013), el pensamiento proporcional, fue utilizado como herramienta resolutiva de problemas desde la antigüedad. Los autores nos arrojan como ejemplo el Papiro de Rhind egipcio, que data del siglo XVII a.C. Ya en este texto tan pretérito, se puede encontrar la evidencia del uso de la proporcionalidad para atender las exigencias de problemas mercantiles. Además de este papiro, existen otros ejemplos distribuidos por la geografía y el tiempo, como textos chinos e hindúes. Los autores remarcan algo de suma importancia; las formas de resolución de estos problemas antiguos son similares a los actuales, pese a su lejanía, a los métodos griegos que heredamos.
Es en esta cultura mediterránea, donde se encuentra la obra de Euclides llamada Elementos. Este tratado matemático dividido en trece libros (de los cuales solo dos, el V y el VII, tratan sobre la proporcionalidad) data del siglo III a.C. aproximadamente. En él, puede verse como se muestra la teoría proporcional en la tradición griega posterior a la muerte de Alejandro Magno. Sin embargo, no hace mención de las problemáticas que suscita dicha hipótesis. Uno de los defectos de este texto que señalan los autores, es la falta de rigurosidad sobre la definición del término de razón, ya que en él se dice, que la razón entre dos magnitudes homogéneas guarda relación con su tamaño, sin especificar más. Por tanto, estamos ante una visión de carácter no numérico de las razones, ya que la definición deja claro que la razón no es un número. Para reforzar esa idea, durante el tratado de Euclides, nunca se habla de igualdad entre razones de forma concisa.
Parece ser consensuado que el primer método de proporciones, fue el proceso de antifairesis presentado en el libro VII de Euclides. El método consiste en partir de dos números enteros positivos o magnitudes homogéneas, Tomamos el mayor número, al que le restamos el menor tantas veces como sea posible, hasta obtener una nueva pareja de números enteros positivos. Realizaremos este mismo procedimiento con la nueva pareja, tomando de inicio el número más pequeño; y así sucesivamente.
La importancia del método reside en el proceso en sí y no en los números que aparecen durante el proceso. Para aclarar el proceso, calcularemos la antifairesis de 18 y 5. Comenzaremos restando 5 a 18 tantas veces como sea posible; en concreto 3 veces:
(18, 5) → (13, 5) → (8, 5) → (3, 5).
A continuación, invertiremos los papeles del 3 y del 5, con los que repetiremos el proceso anterior:
(5, 3) → (2, 3).
Nuevamente invertimos los números 2 y 3:
(3, 2) → (1, 2).
Análogamente para los números 1 y 2, tenemos:
(2, 1) → (1, 1) → (0, 1).
El proceso termina debido a la aparición del 0. Contemplando las sucesivas restas que hemos realizado en este proceso, tenemos que la antifairesis del 18 y 5 sería la sucesión {3, 1, 1, 2}.
Contemplando únicamente una visión matemática, podemos darle un significado a la sucesión {3, 1, 1, 2}, como indica Fowler (1979) (citado en Oller y Gairín, 2013, p. 321).
Debido a que los costes de llevar a la práctica esta teoría, eran mayores que los frutos que daba, esta quedó relegada exclusivamente al mundo aritmético y anclada al libro V. Fue Eudoxo quien rescataría la parte teórica de las magnitudes, aunque no matizaba ni abordaba el concepto de razón, sino que solo se centraba en definir aquellos elementos que se relacionaban con la geometría.
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